Если дискриминант равен 0 — формула и примеры уравнений без корней

Дискриминант – величина, которая вычисляется по формуле и позволяет определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. Если дискриминант равен 0, то это означает, что у уравнения нет корней. В этом случае график квадратного уравнения не пересекает ось абсцисс, и решений у уравнения нет.

Формула для вычисления дискриминанта выглядит следующим образом:

Д = b² — 4ac

где b – коэффициент при переменной в квадрате, a и c – остальные коэффициенты уравнения.

Приведем примеры уравнений без корней при дискриминанте, равном 0:

1. Уравнение x² + 2x + 1 = 0 имеет дискриминант, равный 0. Подставляя значения коэффициентов (a = 1, b = 2, c = 1) в формулу, получаем следующее:

D = 2² — 4 × 1 × 1 = 4 — 4 = 0

Таким образом, уравнение не имеет корней.

2. Уравнение 3x² — 6x + 3 = 0 также имеет дискриминант, равный 0. Вычислим его:

D = (-6)² — 4 × 3 × 3 = 36 — 36 = 0

Следовательно, и это уравнение не имеет корней.

Итак, когда дискриминант равен 0, уравнение не имеет корней, график уравнения не пересекает ось абсцисс, и в ответе пишут «корней нет». Это важная особенность квадратных уравнений, которую нужно учитывать при их решении.

Что такое дискриминант?

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac. Здесь a, b и c – коэффициенты уравнения.

Если дискриминант равен 0, то у уравнения нет вещественных корней. В этом случае уравнение имеет один корень, но он является комплексным.

Формула дискриминанта

Формула дискриминанта используется для определения количества и типа корней уравнения вида ax^2 + bx + c = 0. Дискриминант обозначается символом D и вычисляется по следующей формуле:

Зная значение дискриминанта, можно определить количество и тип корней уравнения.

Примеры уравнений без корней, когда дискриминант равен 0:

• x^2 + 4 = 0
• 2x^2 — 10x + 13 = 0

В обоих примерах, дискриминант равен 0, что указывает на отсутствие действительных корней.

Когда дискриминант равен 0

Формула для вычисления дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом:

Дискриминант = b^2 — 4ac

Где a, b и c – это коэффициенты квадратного уравнения.

Рассмотрим примеры уравнений, в которых дискриминант равен 0:

• Уравнение 2x^2 — 8x + 8 = 0
• Уравнение x^2 + 6x + 9 = 0

Подставив коэффициенты a, b и c в формулу дискриминанта, мы получим следующие значения:

• Дискриминант уравнения 2x^2 — 8x + 8 = 0 равен 0
• Дискриминант уравнения x^2 + 6x + 9 = 0 также равен 0

Таким образом, оба этих уравнения не имеют вещественных корней, так как их дискриминант равен 0.

Уравнения без корней

Уравнения, у которых дискриминант равен нулю, не имеют реальных корней. Это означает, что график такого уравнения не пересекает ось абсцисс и не имеет точек пересечения с ней.

Если дискриминант равен нулю, то это говорит о том, что квадратное уравнение имеет только один корень. Математически это можно записать следующим образом: D = 0.

Примеры уравнений без корней:

1. Уравнение: x² + 6x + 9 = 0

Решение: Квадратный трехчлен (x + 3)(x + 3) можно разложить в квадрат: (x + 3)² = 0. Таким образом, x = -3 — единственный корень уравнения.

2. Уравнение: 2x² — 4x + 2 = 0

Решение: Дискриминант равен нулю: D = (-4)² — 4 * 2 * 2 = 0. Уравнение имеет один корень, x = 1.

3. Уравнение: x² + 4x + 4 = 0

Решение: Дискриминант равен нулю: D = 4² — 4 * 1 * 4 = 0. Уравнение имеет один корень, x = -2.

Уравнения без корней являются особым случаем квадратных уравнений. Если дискриминант равен нулю, то уравнение можно решить путем приведения его к квадрату и извлечения корня.

Пример 1: уравнение с дискриминантом равным 0

Дискриминант вычисляется по формуле D = b² — 4ac. В данном уравнении коэффициенты равны:

• a = 4 (коэффициент при x²)
• b = -4 (коэффициент при x)
• c = 1 (свободный коэффициент)

Подставим значения в формулу: D = (-4)² — 4 * 4 * 1 = 16 — 16 = 0.

Так как дискриминант равен 0, уравнение имеет один корень, а именно x = -b / (2a). В нашем случае:

x = -(-4) / (2 * 4) = 4 / 8 = 0.5

Таким образом, решение уравнения 4x² — 4x + 1 = 0 есть x = 0.5.

Пример 2: Уравнение с дискриминантом равным 0

Рассмотрим уравнение вида ax² + bx + c = 0, где дискриминант равен 0.

Если дискриминант равен 0, то это означает, что уравнение имеет ровно один корень.

Для нахождения корня уравнения с дискриминантом равным 0 используется формула:

x = -b / 2a

Рассмотрим конкретный пример:

В данном примере коэффициенты уравнения равны: a = 4, b = -8, c = 4.

Вычислим дискриминант по формуле:

D = b² — 4ac

D = (-8)² — 4 * 4 * 4

D = 64 — 64

D = 0

Так как дискриминант равен 0, то уравнение имеет один корень.

Найдем значение этого корня по формуле:

x = -b / 2a

x = -(-8) / 2 * 4

x = 8 / 8

x = 1

Таким образом, решением уравнения 4x² — 8x + 4 = 0 является один корень: x = 1.

Пример 3: уравнение с дискриминантом равным 0

Рассмотрим уравнение:

2x² + 4x + 2 = 0

Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² — 4ac

Где a, b и c — коэффициенты уравнения.

В данном случае a = 2, b = 4 и c = 2. Подставим эти значения в формулу дискриминанта и вычислим его:

D = 4² — 4 * 2 * 2

D = 16 — 16

D = 0

Поскольку дискриминант равен 0, уравнение имеет один корень. Для его нахождения воспользуемся формулой:

x = -b / (2a)

Подставим значения коэффициентов и решим уравнение:

x = -4 / (2 * 2)

x = -4 / 4

x = -1

Таким образом, уравнение 2x² + 4x + 2 = 0 имеет единственный корень: x = -1.

Пример 4: уравнение с дискриминантом равным 0

Рассмотрим уравнение:

x^2 — 6x + 9 = 0

Для определения значений переменной x, необходимо найти дискриминант данного уравнения.

Для данного уравнения, дискриминант (D) осуществляется по формуле:

D = b^2 — 4ac

где a, b и c — это коэффициенты уравнения.

Подставим значения коэффициентов для данного уравнения:

D = (-6)^2 — 4 * 1 * 9

D = 36 — 36 = 0

Так как дискриминант равен 0, уравнение имеет единственный корень:

x = -b / (2a)

Подставим значения коэффициентов и найдем значение x:

x = -(-6) / (2 * 1)

x = 6 / 2

x = 3

Таким образом, уравнение x^2 — 6x + 9 = 0 имеет единственный корень: x = 3.

Пример 5: уравнение с дискриминантом равным 0

Рассмотрим уравнение:

x² — 6x + 9 = 0

Для начала найдем дискриминант уравнения. Формула дискриминанта:

D = b² — 4ac

Подставим коэффициенты из уравнения в формулу:

Получили, что дискриминант равен 0. Это значит, что у уравнения нет вещественных корней. В данном случае, уравнение имеет единственный корень, который является комплексным числом.

Решение уравнения:

x = -b/2a

x = -(-6)/2*1 = 6/2 = 3

Таким образом, уравнение имеет единственный комплексный корень x = 3.